Questões sobre tautologia, contradição e contingência

Se uma proposição composta tem pelo menos uma linha verdadeira e uma falsa na coluna do operador principal em sua tabela de verdade, qual é a classificação dessa proposição?

• Contradição
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  Uma contradição é o oposto de uma tautologia: é uma proposição que é sempre falsa, independentemente dos valores de verdade dos componentes. Isso significa que todas as linhas da coluna do operador principal serão falsas. Se a proposição tem algumas linhas verdadeiras, ela não pode ser uma contradição.
• Tautologia
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  Uma tautologia é uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores de verdade dos componentes. Isso significa que, na tabela verdade, todas as linhas da coluna do operador principal serão verdadeiras. Portanto, se uma proposição tem algumas linhas verdadeiras e algumas falsas, ela não pode ser uma tautologia.
• Contingência
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  Uma contingência é uma proposição que apresenta tanto valores verdadeiros quanto falsos na coluna do operador principal na sua tabela verdade. Isso significa que ela não é nem sempre verdadeira (como uma tautologia) nem sempre falsa (como uma contradição). Portanto, se a proposição possui uma linha verdadeira e uma linha falsa, ela é uma contingência. Esta é a classificação correta da proposição descrita.
• Indeterminada
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  A noção de uma proposição 'indeterminada' não é uma classificação precisa no contexto lógico da tabela verdade. Em lógica formal, uma proposição tem que se enquadrar em uma das categorias conhecidas, como tautologia, contradição ou contingência. Uma proposição não pode ser classificada como 'indeterminada' apenas porque apresenta valores verdadeiros e falsos—isso é, na verdade, uma contingência.

Qual é a classificação da proposição composta A ∨ ~A?

• Contingência.
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  A proposição A ∨ ~A tampouco é uma contingência. Em lógica, uma contingência é uma proposição cujo valor de verdade pode variar dependendo dos valores de verdade das proposições componentes. No caso de A ∨ ~A, como ela sempre resulta em verdadeiro, não há variação possível; logo, ela não se encaixa como contingência, tornando esta alternativa incorreta.
• Contradição.
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  A proposição A ∨ ~A não é uma contradição. Uma contradição é uma proposição que é falsa em todas as interpretações possíveis. No caso de A ∨ ~A, esta proposição é sempre verdadeira porque abrange todos os casos possíveis (A sendo verdadeiro ou falso). Portanto, a proposição não pode ser classificada como contradição, tornando esta alternativa incorreta.
• Indeterminada.
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  Não se pode classificar a proposição A ∨ ~A como indeterminada, pois o termo 'indeterminada' não é uma classificação usada na lógica clássica. Proposições podem ser classificadas como tautologias, contradições, ou contingências, mas o termo "indeterminada" não figura como uma dessas classificações, o que torna essa alternativa incorreta.
• Tautologia.
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  A proposição A ∨ ~A é um exemplo de uma tautologia. Isso quer dizer que essa proposição será sempre verdadeira, independentemente do valor da proposição A. Em lógica, uma tautologia é uma fórmula que está sempre verdadeira em qualquer interpretação. No caso de A ∨ ~A, se A for verdadeiro, ~A será falso e, portanto, a disjunção (ou seja, o 'ou') de verdadeiro com falso continua sendo verdadeira. E se A for falso, ~A será verdadeiro, o que também resulta na proposição composta A ∨ ~A sendo verdadeira. Então, essa alternativa está correta.

O que é uma tautologia?

• Uma proposição cujo valor de verdade não pode ser determinado.
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  Esta alternativa está incorreta. Se uma proposição possui um valor de verdade que não pode ser determinado, isso tem a ver com questões de indeterminação de significado ou de falta de informação sobre o contexto, mas não se refere a uma tautologia. Uma tautologia, ao contrário, tem seu valor de verdade determinado como sempre verdadeiro.
• Uma proposição que é sempre falsa.
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  Esta alternativa está incorreta. Uma proposição que é sempre falsa em lógica é chamada de contradição, não de tautologia. Uma contradição é uma proposição que não pode ser verdadeira, independentemente dos valores das proposições componentes. Por exemplo, "P e não P" é uma contradição porque jamais pode ser verdadeira.
• Uma proposição cujo valor de verdade pode mudar.
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  Esta alternativa está incorreta. Uma proposição cujo valor de verdade pode mudar dependendo das condições, ou seja, nem sempre verdadeira nem sempre falsa, é chamada de contingente, e não de tautologia. Uma proposição contingente é verdadeira em algumas situações e falsa em outras.
• Uma proposição que é sempre verdadeira.
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  Esta alternativa está correta. Em lógica, uma tautologia é uma proposição que é verdadeira em todas as interpretações possíveis. Isso significa que, não importa quais sejam os valores de verdade das proposições componentes, o resultado será sempre verdadeiro. Um exemplo clássico de tautologia é a proposição "P ou não P", que é sempre verdadeira, independentemente do valor de P.